kuliahan

LOGIKA DAN ALGORITMA
DASAR – DASAR TEORI GRAF
• Kelahiran Teori Graf
Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 1736)
CABD
Gbr 1. Masalah Jembatan Königsberg
Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg :
Simpul (vertex) 􀃆 menyatakan daratan
Ruas (edge) 􀃆 menyatakan jembatan
Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
• Perjalanan Euler adalah :
Perjalanan dari suatu simpul kembali ke simpul tersebut dengan melalui setiap ruas tepat satu kali.
• Perjalanan Euler akan terjadi, jika :
- Graf terhubung.
- Banyaknya ruas yang datang pada setiap simpul adalah genap.
Dasar Teori Graf
• Definisi Graf
Graf G (V, E), adalah koleksi atau pasangan dua himpunan
(1) Himpunan V yang elemennya disebut simpul atau titik, atau vertex, atau point, atau node.
(2) Himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul, disebut ruas atau rusuk, atau sisi, atau edge, atau line.
• Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graf G, sedangkan banyaknya ruas (anggota E) disebut ukuran (size) Graf G
G1 G2 G3 111234234243e1e2e3e4e5e6e7e1e2e3e4e5e6e7e8
Gbr 2. (G1) graf sederhana, (G2) multigraf, dan (G3) multigraf
Pada Gbr 2, G1 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }
G2 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) }
= { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 2
Dasar Teori Graf
G3 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) }
= { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}
• Pada G2, sisi e3 = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan ruas berganda atau ruas sejajar (multiple edges atau paralel edges), karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.
• Pada G3, sisi e8 = (3, 3) dinamakan gelung atau self-loop karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
JENIS – JENIS GRAF
• Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graf).
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana.
2. Graf tak-sederhana (unsimple-graf/multigraf).
Graf yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graf atau multigrapf).
• Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga (limited graf)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 3
Dasar Teori Graf
2. Graf tak-berhingga (unlimited graf)
Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga.
• Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graf)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graf atau digraf)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. (a) G
Dua buah graf pada Gbr 3 adalah graf berarah.
Gbr 3 (a) graf berarah, (b) graf-ganda berarah
ERMINOLOGI GRAF
4 (b) G5 11234234
T
en Subgraf
raf. G1 = (V1, E1) adalah subgraf (subgraf) dari G
• Subgraf dan Komplem
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah g
jika V1 ⊆ V dan E1 ⊆ E. Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 4
Dasar Teori Graf
Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
123456165312352
(a) Graf G1
(b) Subgraf
(c) Komplemen Subgraf (b)
• Subgraf yang Direntang (Spanning Subgraf)
Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka
G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)
Contoh :
• Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu simpul.
Sedangkan Derajat Graf G adalah jumlah derajat semua simpul Graf G.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 5
Dasar Teori Graf
13241234512e1e2e3e4e53
Graf G1 Graf G2 Graf G3
graf G1 : d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
graf G3 : d(5) = 0 􀃆 simpul terpencil / simpul terisolasi
d(4) = 1 􀃆 simpul bergantung / simpul akhir
graf G2 : d(1) = 3 􀃆 bersisian dengan ruas ganda
d(3) = 4 􀃆 bersisian dengan self-loop (derajat sebuah self-loop = 2)
Jumlah derajat semua simpul Graf (derajat Graf) = dua kali banyaknya ruas Graf (size/ukuran Graf).
• Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
graf G1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3,
simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
• Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang ruas e = (vj, vk) dikatakan :
e bersisian dengan simpul vj , atau
e bersisian dengan simpul vk
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 6
Dasar Teori Graf
graf G1: ruas (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3,
ruas (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,
tetapi ruas (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
• Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil.
• Graf Kosong (null graf atau empty graf)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).
Graf N5 :
12345
OPERASI GRAF
G1 = (E1,V1) , G2 = (E2,V2)
1. Gabungan G1 ∪ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 ∪ E2.
2. Irisan G1 ∩ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 ∩ E2.
3. Selisih G1 - G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 - E2.
4. Selisih G2 – G1 adalah graf dgn himpunan ruasnya E2 - E1.
5. Penjumlahan ring G1 ⊕ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya (E1 ∪ E2) - (E1 ∩ E2) atau (E1 - E2) ∪ (E2 - E1).
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 7
Dasar Teori Graf
Contoh :
Graf G1 Graf G2
G1 ∪ G2 G1 ∩ G2
G1 - G2 G2 – G1
G1 ⊕ G2
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 8
Dasar Teori Graf
DEKOMPOSISI
Suatu graf G dikatakan dikomposisikan menjadi K dan L bila G = K ∪ L dan K ∩ L = ∅
Contoh :
PENGHAPUSAN (DELETION)
Penghapusan dapat dilakukan pada simpul ataupun ruas.
1) Penghapusan Simpul .
Notasinya : G – {V}
Contoh :
2) Penghapusan Ruas .
Notasinya : G – {e}
Contoh :
e1
e5
e5
e4
e4
e3
e2
e2
e1
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 9
Dasar Teori Graf
PEMENDEKKAN (SHORTING)
Pemendekan/Shorting adalah menghapus simpul yang dihubungkan oleh 2 ruas (simpul berderajat 2), lalu menghubungkan titik-titik ujung yang lain dari kedua ruas tersebut.
Contoh :
KETERHUBUNGAN
• Perjalanan (Walk)
Perjalanan atau walk pada suatu Graf G adalah barisan simpul dan ruas berganti-ganti
v1, e1, v2, e2, …,en-1, vn 􀃆 ruas ei menghubungkan vi dan vi+1
dapat hanya ditulis barisan ruas atau barisan simpul saja.
e1, e2, …,en-1 atau v1, v2, …, vn-1, vn
Dalam hal ini, v1 disebut simpul awal, dan vn disebut simpul akhir.
Perjalanan disebut perjalanan tertutup bila v1 = vn, sedangkan Perjalanan disebut perjalanan tebuka yang menghubungkan v1 dan vn. Panjang Perjalanan adalah banyaknya ruas dalam barisan tersebut.
• Lintasan (Trail)
Lintasan adalah Walk dengan semua ruas dalam barisan adalah berbeda.
• Jalur (Path)
Jalur adalah Walk yang semua simpul dalam barisan adalah berbeda.
• Sirkuit (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Panjang sirkuit adalah jumlah ruas dalam sirkuit tersebut.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 10
Dasar Teori Graf
Graf yang tidak mengandung sirkuit disebut acyclic.
Contoh :
Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap simpul dari graf terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila subgraf tersebut tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain yang lebih besar.
Contoh :
Rank (G) = n – K
Nullity (G) = e – (n – k)
Dimana : n : Order graf G
e : Size graf G
K : banyaknya komponen graf G
Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur terpendek antara ke 2 simpul tersebut.
Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara simpul G. Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 11
Dasar Teori Graf
Jarak maksimum dalam graf G adalah 3 (yaitu antara A – G atau B - G ataupun C - G), jadi diameter = 3
GRAF BERLABEL
Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot berupa bilangan non negatif.
Contoh :
ISOMORFISMA
Dua buah graf atau lebih yang mempunyai jumlah ruas, simpul, dan derajat yang sama.
Contoh :
HOMOMORFISMA
Dua buah graf aau lebih yang penggambarannya sama, tetapi jumlah ruas dan simpulnya berbeda.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 12
Dasar Teori Graf
Contoh :
BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 13
Dasar Teori Graf
c. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
d. Graf Bipartisi (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartisi dan dinyatakan sebagai G(V1, V2). Dilambangkan KMN.
e. Graf Platonik
Graf yang berasal dari penggambaran bangun ruang, dimana titik sudut merupakan simpul, dan rusuk meruakan ruas.
Logika dan Algoritma – Yuni Dwi Astuti, ST 14